Сосков, Иван. Пътят към реалността [Академично слово по повод празника на Алма Матер – Деня на Св. Климент Охридски] Когато преди десет дни г-н Ректорът ме покани да изнеса това слово и аз започнах да мисля за подходяща тема, с ужас осъзнах, че всеки опит да говоря за математика е предварително обречен на неуспех. Всеки математик се е натъквал на особеното отношение към предмета на дейността си. Когато разбере, че се занимаваш с математика, учтивият събеседник обикновено започва да се извинява, че математиката не му е вървяла в училище или пък в по-добрия случай да пита дали все още са останали нерешени задачи, на които посвещават времето си математиците. Тази ситуация е много добре описана от известния математик и философ Джан Карло Рота (1932 – 1999), когото ще си позволя да цитирам: „... Съгласно едностранчивият поглед математиката се състои от последователност от цели, наречени проблеми, които математиците обстрелват с добре насочени изстрели. Но откъде идват проблемите и за какво са те. Ако проблемите на математиката не служеха за разкриване на по-широка истина, то те биха били неразличими от шахматните задачи и кръстословиците. Математическите проблеми се решават, защото са частица от по-голяма загадка. Решението на даден индивидуален проблем е ценно, само ако служи за построяване на теория”.
За какви теории става дума и какво описват те? Първите стъпки към разбирането на реалните сили, които управляват природата, изисквали осъзнаването на различието между вярното и предполагаемото. Преди да се заемат с тази задача, нашите предци е трябвало да постигнат нещо друго, което да им даде възможност да направят надеждни стъпки към разбирането на природните закони. Това, което е трябвало да се научат, е да различават вярното от предполагаемото в математиката. Изисквало се да има процедура, с помощта на която надеждно да се преценява дали едно математическо твърдение може или не може да се приеме за вярно. Докато не се решал този предварителен проблем, би имало слаба надежда за сериозни успехи при решаването на по-трудните проблеми, отнасящи се до силите, които контролират света и евентуалната им връзка с математическата истина. Осъзнаването, че ключът към разбирането на природата лежи в неопровержимата математика, е може би първото голямо откритие в науката.
Въпреки, че математически истини от различен вид са били подозирани още от древните египтяни и вавилонци, понятието за доказателство се появява по времето на великите гръцки философи Талес от Милет (625 – 547 пр.н.е.) и Питагор от Самос (572 – 497 пр.н.е.). Вероятно Талес е бил първият, който използва доказателства, но едва в работите на питагорейците доказателствата служат за утвърждаване на неочевидни математически факти. Питагорейците оказват огромно влияние върху прогреса на човешкото мислене. Благодарение на математическото доказателство, за пръв път е станало възможно да се изказват съществени твърдения от неопровержимо естество, които са точно толкова верни днес, колкото по времето на тяхното получаване. Така например, Хипазос от Метапонт – един от питагорейците – доказал несъизмеримостта на диагонала и страната на квадрата, всъщност – ирационалността на корен от две. Съгласно легендата, това откритие така потресло неговите събратя, че, за да спрат разпространението на тази еретична идея, те го удавили.
Какво всъщност е математическото доказателство? Доказателството в математиката е поредица от аргументи, всеки от които е изведен посредством логически правила от предходните или от някои примитивни разсъждения, наречени аксиоми, чиято валидност се приема за очевидна. Твърдение, което се утвърждава с помощта на доказателство, се нарича теорема. Повечето от теоремите, с които са се занимавали питагорейците, са били геометрични, други са се отнасяли до числата. Занятието на питагорейците продължило през хилядолетията, продължава и сега.
Освен доказателства, по време на своята работа математиците създават и собствена система от понятия, чрез която изказват твърденията си. Известните понятия и твърдения от своя страна стават част от нови понятия и се включват в доказателството на нови твърдения. Така се създават теориите. С две думи, тази е дейността на всеки математик от древността до днес.
Развитието на математиката поставя въпроса за естеството на математическата истина. Наистина, математическите понятия, като точки, прави, геометрични фигури, числа, не се наблюдават във физическата реалност. Какъв свят населяват те? Обективни ли са математическите истини и дали едно понятие или теорема съществува, преди да бъде формулирано или доказано от някой математик? Както често се случва във философията, отговори на тези въпроси срещаме в многобройни и взаимно противоречащи си теории.
Може би най-крайна е теорията на формализма, която свързваме с името на Давид Хилберт. За формалистите математиката е просто игра, в която се създават низове от символи – теореми въз основата на определени правила. Формалистите не се интересуват от реалното значение на теоремите и от тяхната приложимост, а единствено от играта. Този възглед стимулира развитието на нови теории. Колкото повече игри, толкова по-добре. Приемайки гледната точка на формалистите, разумният човек би следвало да се откаже от изучаването на математиката, а управниците – от финансирането на всякакви математически изследвания.
Минавайки през емпиризма на Мил, Куайн и Пътнам, които отричат априорното съществуване на математическите истини и считат математика за емпирична наука, и логицизма на Фреге и Карнап, за които математиката е просто част от логиката, стигаме до реализма.
Реализмът е теорията, която се споделя от повечето математици като Курт Гьодел, Поул Ердьош и физици, като Роджър Пенроуз, комуто дължа заглавието на този доклад. Съгласно математическия реализъм математическите понятия и твърдения съществуват априорно и обективно и работата на математиците е да ги открият. Този възглед много добре се съгласува с опита на физиците, които често прибягват до абстрактни математически понятия, за да обяснят реални физически явления. Можем да считаме, че математическият реализъм е развитие на платонизма, доколкото обективният свят на математическите теории е част от Платоновият свят на идеите.
Реализмът на математиката се потвърждава от нейната история. Допускането за априорно съществуване на математическия свят прави историята на математиката подобна на историята на великите географски открития. Нещо повече, математическата история е също така драматична. Тъй като историята е на мода в нашия университет, ще си позволя да изложа някои исторически факти, илюстриращи не само драматизма на математическите открития, но и мистериозната връзка между математическия свят и природата, която прави математиката мощно средство за опознаване на реалността.
Още от древността основните занимания на математиците са били съсредоточени в две основни теории – алгебрата и геометрията. Считало се е, че те са тясно свързани с физическата реалност и всяко неинтуитивно посегателство върху тези теории се е приемало доста драматично. Спомнете си бедния Хипазос, чието откритие е проправило пътя към реалните числа. Следващата революция в алгебрата настъпва през 1545 година, когато Кардано въвежда в своята книга „Ars Magna” комплексните числа. Откритието на Кардано е в намирането на едно ново число i с чудното свойство, че квадратът на i е равен на -1. Числото i e наречено имагинерна единица. Разширяването на реалните числа с имагинерната единица довежда до комплексните числа. Повечето от математиците не приемали теорията на Кардано. Предполага се, че дори Гаус е отказал да публикува основната теорема на алгебрата поради нежеланието да се занимава с комплексни числа, които са необходими във формулировката и доказателството на тази теорема. Тази важна теорема сега носи името на Даламбер. От откритието на Кардано минават повече от 350 години, в които математиците развиват теорията на комплексните числа, докато се намери техният физически смисъл в квантовата механика.
Друго голямо събитие, свързано с числата, е откриването на Диференциалния метод от Нютон и Лайбниц в края на XVII и началото на XVIII век. Този метод, макар в началото логически необоснован, бързо става основно средство за решаването на проблеми от физиката и механиката. Диференциалният метод е основан на смятането с безкрайно малки величини, чието частно би могло да бъде крайна величина. Основите на диференциалното смятане били изяснени едва в работите на Вайерщрас с въвеждането на граничния преход през началото на XIX век. През шейсетте години на XX век Абрахам Робинсон показва логическата състоятелност на смятането с безкрайно малки величини, реабилитирайки по този начин математическата интуиция на Нютон и Лайбниц.
Революция преживява и геометрията. Около 300 години преди новата ера в своето съчинение „Начала” Евклид излага известната по това време геометрия в аксиоматичен стил. Той приема за верни няколко първични твърдения, наречени аксиоми и постулати, от които извежда всички останали с помощта на логически разсъждения. Един от постулатите, този за успоредните прави, изглежда по-сложен и интуитивно по-неясен от останалите. В продължение на две хилядолетия този постулат е бил обсъждан от математиците и са правени многобройни опити той да бъде изведен като следствие от останалите аксиоми. Всички тези опити са били обречени на неуспех. Този факт започва да се осъзнава през XIX век, когато няколко души започват почти едновременно да се занимават с теории, в които постулатът не е валиден. Тук трябва да споменем имената на Бояй, Лобачевски, а по-късно и това на Риман. Гаус, който по-това време е властвал над математиката от своята кула в Гьотинген, също е бил близо до откриването на тези нови геометрии, но вероятно поради силния си консерватизъм отказва да ги признае. Неевклидовите геометрии се появяват във физиката през двадесети век със създаването на теорията на относителността.
В края на деветнадесети век Георг Кантор започва да се занимава с една нова теория, която той нарича Теория на множествата. Математиците бързо осъзнават, че в рамките на тази теория могат да се вместят всички известни досега математически теории и в този смисъл тя се превръща в основната математическа теория. Всичко въври много добре до момента, в който Ръсел открива през 1902 г. противоречие в теорията на множествата, известно като парадокс на Ръсел. Той, а и други парадокси на тази теория, всяват голям смут в душите на тогавашните математици. Започват да се прокрадват съмнения в неопровержимостта на математиката, а оттук и на цялата природна наука. Холандският математик Брауер критикува дори правилата на формалната логика и излиза с предложение за ограничаване на тези правила. Създава се интуиционизма.
Грижата за оправяне на нещата се поема от Хилберт. Той създава програма, крайната цел на която е да се докаже непротиворечивостта на математиката. Идеята на Хилберт е била да се сведе цялата математика до една финитарна формална система, която впоследствие да се докаже, че е непротиворечива. Най-удобна за тази цел е изглеждала формалната система на аритметиката, въведена от Пеано. Край на програмата на Хилберт се слага през 1931 г., когато Курт Гьодел анонсира своята теорема за непълнота на аритметиката, а година по-късно – и теоремата за непротиворечивост, която гласи, че е невъзможно доказателството на непротиворечивостта на аритметиката в самата аритметика. Теоремите на Гьодел очертават границите на аксиоматичния метод и показват, че той не е всесилен. От тези теореми следва, че никога не бихме могли да сме математически уверени в непротиворечивостта на математиката.
Името на Гьодел е свързано с още едно математическо откритие. През 1936 г. в Принстън той се среща с Чърч и Тюринг и всеки от тях предлага свое понятие за алгоритмично изчислима функция. По-късно се оказва, че трите дефиниции са еквивалентни, което дава основание на Чърч да изкаже своя тезис, че съответното математическо понятие отговаря на интуитивното. Създава се теорията на изчислимите функции. Тази теория е може би първият пример за приложна математика, която не се занимава с физическата реалност. Двадесет години по-късно, след появата на компютрите, се оказва, че изчислимите функции лежат в основата на една нова наука, която сега наричаме информатика.
Накрая следва да кажа няколко думи за съвременното състояние на математиката. Тук ще бъда много предпазлив. В класификатора, използван от Mathematical Reviews, има повече от 10 хиляди теми, върху които публикуват съвременните математици. За разлика от XVIII и XIX век, когато професионалните математици са били по-малко от 1000, в момента само в университетите и колежите в САЩ има около 20 000 позиции за математици на пълен работен ден. Не вярвам да има съвременник, който да има поглед върху цялостното развитие на математиката. Теориите, върху които работят математиците, варират от създаване на приложни модели в икономиката до напълно абстрактни области като алгебричната геометрия. Никога досега в историята на човечеството не е имало такова масирано изследване на света на математиката. Бъдещето ще покаже дали ще намерим в него математическото Ел Дорадо.
Уважаеми колеги, ние не познаваме напълно пътя към реалността, а още по-малко можем да кажем къде ни води той. От друга страна, мисля, че имаме всички основания да считаме, че този път е постлан с математика.
http://www.libsu.uni-sofia.bg/e-books/soskov.html
